Les logarithmes
Publié le 26 janvier 2015
Une nouvelle série pour introduire la notion de logarithme, commençant par une vidéo introductive, puis par l'étude détaillée de la fonction logarithme et enfin, une illustration de l'intérêt des logarithmes pour l'étude des phénomènes naturels et, en particulier, de l'audition.
Les logarithmes : introduction
La notion mathématique de logarithme est présentée de façon très progressive à partir d’un problème de classification de grandeurs très diverses. Le cas choisi est celui du classement de la taille des êtres vivants sur la terre. On montre, sans le dire explicitement, que la représentation de la taille des êtres vivants sur une échelle unique nécessite le recours à la notion de logarithme (nous présentons de la sorte l’échelle logarithmique sans la nommer). Le logarithme est de cette manière introduit très naturellement comme étant la puissance de 10 apparaissant dans l’écriture d’un nombre en notation scientifique (exponentielle en base 10). Après avoir traité le cas des puissances entières de 10 nous passons au logarithme de n’importe quel nombre (positif). Un point de vue historique est proposé au travers d’une brève présentation de John Napier (Neper) qui a inventé le logarithme à la fin du 16ème siècle pour faciliter les calculs des savants de l’époque. A cette fin, nous démontrons la propriété des logarithmes (recherchée par Napier) qui veut que le logarithme d’un produit de nombres est égal à la somme des logarithmes de ces deux nombres. La simplification des calculs que permet cette règle est illustrée à l’aide du calcul d’un produit de deux nombres à l’aide des tables de logarithmes écrites du temps de Napier (tables de Briggs).
A partir de la définition du logarithme et d’une brève étude de la fonction exponentielle sur laquelle cette définition est basée, nous présentons le logarithme sous l’angle du concept mathématique de fonction. Nous commençons par montrer que la fonction logarithme est la fonction réciproque de l’exponentielle de base 10. Le graphe de la fonction logarithme est construit sur base de celui de la fonction exponentielle ce qui nous donne l’occasion de proposer une brève étude de la fonction logarithme (domaine de la fonction, asymptote verticale en l’origine, etc…). Nous passons ensuite aux propriétés de la fonction logarithme sur base des propriétés de la fonction exponentielle (le logarithme d’un produit de nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres et le logarithme d’un nombre à la puissance « n » est égal à « n » fois le logarithme de ce nombre). Finalement nous généralisons la notion de logarithme à toute base. Nous présentons la formule de passage d’une base à une autre et nous introduisons brièvement le logarithme népérien.
L’oreille est un détecteur de sons extraordinaire dans la mesure où elle nous permet de percevoir des sons dont les intensités diffèrent d’un rapport aussi grand que mille milliards. La représentation de ce gigantesque intervalle d’intensités sonores est réalisée à l’aide d’une échelle logarithmique. Nous montrons ensuite que cette échelle logarithmique reflète de façon très naturelle et fidèle notre manière d’appréhender les sons. A titre d’illustration, nous considérons l’intensité sonore d’un chant d’oiseau et nous montrons que pour en doubler l’intensité sonore « perçue » il faut multiplier par dix le nombre d’oiseaux (la multiplication d’un facteur 10 de l’intensité sonore provoque seulement un doublement de l’intensité sonore perçue). Nous montrons que ce résultat peut être traduit mathématiquement par l’introduction du logarithme dans la définition de l’intensité sonore « perçue », ce qui conduit à la notion de « bel » et de « décibel », les unités de mesure du « volume » sonore. Cette vidéo constitue une illustration intéressante de la pertinence et de l’utilité de la notion mathématique de logarithme pour décrire la manière dont on perçoit le monde qui nous entoure.
