La période du pendule

Pour analyser la dynamique du pendule afin d’en calculer la période d’oscillation en fonction de ses paramètres, nous adoptons ici une procédure analogue à celle proposée pour l’étude de l’oscillateur harmonique (système masse-ressort). L’originalité de l’approche réside dans le fait de ne pas recourir au formalisme des équations différentielles.  

 

Nous n’exploitons donc pas explicitement la notion mathématique de dérivée mais nous traitons néanmoins, sans la nommer, la notion de rapport de grandeurs infinitésimales. Ceci est fait de façon très intuitive sur base d’un bref rappel de la méthode exploitée par Archimède pour le calcul du nombre pi (cf. décomposition infinitésimale). D’un point de vue pédagogique, le développement proposé est donc utile pour préparer l’élève à l’apprentissage du calcul différentiel et intégral.

 

L’expression mathématique du principe de conservation de l’énergie appliquée au pendule est interprétée géométriquement à l’aide du théorème de Pythagore. Ceci nous conduit très simplement et naturellement à décrire la dynamique du pendule dans un système d’axes dont l’abscisse représente la position de la masse du pendule et l’ordonnée représente sa vitesse. Cette représentation est l’occasion d’offrir à l’élève un premier contact avec la notion de portrait de phase. Une étude géométrique simple du portrait de phase (ne nécessitant que la maîtrise des fonctions harmoniques sinus et cosinus) nous permet de calculer la fréquence angulaire et la période des oscillations du pendule. Notre démarche de résolution constitue pour l’élève un exemple intéressant d’exploitation des notions mathématiques de base telles que le théorème de Pythagore ou les fonctions harmoniques sinus et cosinus.