Le paradoxe des anniversaires

Dans un groupe de 22 personnes, la probabilité qu’au moins deux d’entre elles aient la même date d’anniversaire est très proche de 1/2. Cet énoncé assez contrintuitif, s’appelle le paradoxe des anniversaires. Il est ici expliqué à l’aide des règles de base du calcul des probabilités.

Le problème est abordé de façon simplifiée avec une situation analogue impliquant un petit nombre de personnes caractérisées, non pas par leur date d’anniversaire, mais par une des trois couleurs de vêtement qui leur sont permises. Cette simplification permet d’introduire progressivement les notions et les règles du calcul des probabilités nécessaires à la résolution du paradoxe. C’est ainsi que nous abordons les notions d’évènements complémentaires, mutuellement exclusifs, et indépendants. Ceci nous conduit à formuler les règles de calcul élémentaires : P(A ou B) = P(A)+P(B), P(A et B)=P(A)xP(B) (A et B indépendants) ainsi qu’à introduire la notion de probabilité conditionnelle P(B|A) et conjointe P(A et B) = P(B)xP(A|B).

Une fois ces notions introduites, le paradoxe est expliqué sur base du calcul de la probabilité de l’évènement inverse : quelle est la probabilité pour qu’aucune des « n » personnes du groupe n’aient la même date d’anniversaire. Ce calcul est fait en augmentant progressivement la valeur de « n » ce qui conduit naturellement à une règle de récurrence permettant la généralisation de la formule de probabilité recherchée.

Cette leçon permet à l’élève de découvrir la façon de procéder pour mener un calcul de probabilité complexe. En particulier, elle lui permet de comprendre qu’on peut procéder en commençant par un problème semblable plus simple et en le complexifiant progressivement par la suite.