Méthode de Gauss 3 : le plan

Cette séquence est consacrée au calcul du champ électrique d’une plaque uniformément chargée dans son épaisseur. Elle constitue la suite logique de la séquence consacrée au calcul du champ électrique de la sphère et du cylindre uniformément chargés. Comme pour le cylindre de longueur finie, le champ de la plaque ne peut pas être calculé en toute rigueur par la méthode de Gauss, ceci parce que la symétrie du problème ne permet pas de définir simplement une surface de Gauss sur laquelle le produit scalaire du champ et du vecteur de surface est constant ou nul en tout point. Nous expliquons que, malgré cette difficulté, la méthode de Gauss fournit une approximation valable (sous certaines conditions) du champ électrique lorsque le calcul du champ se fait en un point suffisamment proche du centre de la plaque et ceci uniquement lorsque la plaque est suffisamment étendue (l’approximation n’est pas quantifiée, elle n’est présentée que de façon intuitive). Nous précisons que, selon cette logique, la méthode de Gauss fournit un résultat exact pour un plan « idéalisé » d’extension infinie et infiniment mince. Les résultats montrent que le champ électrique en un point donné à l’extérieur du plan est proportionnel à la densité surfacique de charge de la plaque (quantité de charge électrique de la plaque divisé par sa surface) et, fait remarquable, est indépendant de la distance à laquelle on se trouve du plan, autrement dit, le champ généré par la plaque est uniforme. Le calcul pour un point à l’intérieur dans l’épaisseur de la plaque indique que le champ est proportionnel à la coordonnée de position x le long d’un axe x perpendiculaire à la plaque et ayant pour origine le centre de la plaque. Comme pour la sphère et le cylindre, nous attirons l’attention de l’élève sur la continuité du champ à la surface de la plaque. La connaissance du champ du plan uniformément chargé (plaque d’extension infinie et infiniment mince) sera utile pour la compréhension du principe du condensateur électrique.