Le théorème de l’angle au centre

Après avoir introduit les notions d’angle au centre d’un cercle et d’angle inscrit dans un cercle, nous énonçons le théorème de l’angle au centre qui dit que l’angle au centre d’un cercle vaut le double de tout angle inscrit au cercle pour autant que ces deux angles interceptent le même arc de ce cercle.

La démonstration est faite en trois étapes. Nous commençons par démontrer le théorème dans le cas particulier où un des segments de droites qui définit l’angle inscrit constitue un diamètre du cercle (dans ce cas, une des extrémités de l’arc intercepté par les deux angles se situe sur le même diamètre que le sommet de l’angle inscrit). La démonstration passe par les notions d’angles alternes-internes et de triangle isocèle. 

Nous passons ensuite à la généralisation de ce théorème en décomposant chacun des deux angles en deux angles séparées par le diamètre du cercle qui passe par le sommet de l’angle inscrit. Cette façon de procéder permet de démontrer le théorème sur base d’une simple opération de somme ou de différence d’angles.