Surfaces et aires

Au travers de plusieurs illustrations nous commençons par suggérer qu’il est essentiel dans notre monde de tous les jours de pouvoir mesurer et maîtriser les surfaces de multitude d’objets qui nous entourent.

Avec l’exemple de la mesure d’une longueur nous rappelons que mesurer une grandeur consiste à comparer cette grandeur à une grandeur de référence de même nature. A titre d’exemple, dire qu’un objet possède une longueur de 5 cm revient à exprimer qu’il est cinq fois plus long que la longueur de référence de 1 cm.

Nous proposons alors à l’élève de mesurer la surface de l’écran d’un téléphone mobile. Nous lui proposons tout d’abord comme référence la surface d’un disque de 1cm de diamètre (référence à priori légitime puisque comparable à la surface de contact du bout du doigt sur l’écran). Pour comparer la surface de l’écran à celle de ce disque de référence, nous suggérons qu’il faut compter le nombre de disques qui sont nécessaires pour couvrir totalement l’écran. Nous constatons alors l’impossibilité de couvrir totalement la surface de l’écran en raison des espaces non couverts entre les disques. On voit ainsi la nécessité de choisir une surface de référence qui permette de couvrir totalement l’écran sans laisser d’espaces intersticiels. Pour cela nous suggérons le carré d’un centimètre de côté, dont la surface est appelée un « centimètre carré » (nous ne faisons pas référence à l’opération mathématique de puissance 2 que cache cette terminologie).

Une fois ce choix de référence réalisé, la mesure de la surface de l’écran se fait en dénombrant les centimètres carrés qui ont été nécessaires pour le recouvrir entièrement. Plutôt que de les compter un à un nous suggérons, pour plus de rapidité, de faire le produit du nombre de lignes et du nombre de colonnes de carrés déposés sur l’écran. Bien que plus rapide, cette opération nécessite tout de même le comptage du nombre de lignes et de colonnes, ce qui peut être éviter en mesurant à la règle la longueur des côtés de l’écran. Ces longueurs lues en centimètres fournissent effectivement instantanément les nombres de colonnes et de lignes dont le produit fournit à son tour la surface de l’écran en termes de centimètres carrés. On arrive ainsi à la conclusion que pour obtenir la surface de l’écran il suffit de multiplier la longueur et la largeur de l’écran telles que mesurée avec la règle. Cette façon de procéder nous amène naturellement à la formule de la surface (ou de l’aire) du rectangle qui dit que sa surface (ou on aire) vaut le produit de sa longueur et de sa largeur, soit S = Lxl.

Pour terminer, en y incluant l’unité de longueur (ici le centimètre), nous montrons (à l’aide de la commutativité de la multiplication), que cette formule inclut naturellement la notion de surface de référence (ici le centimètre carré).