Le théorème de la médiane pour le triangle rectangle

Nous contextualisons le théorème de la médiane pour le triangle rectangle en adressant le problème du tracé d’un cercle en l’absence de compas (ou tout dispositif équivalent tel que la corde liée à un point fixe). Nous montrons qu’il est effectivement possible de tracer un cercle à l’aide de deux points fixes (matérialisés par des clous dans une paroi) et d’une équerre. Cette méthode de tracé s’explique facilement à partir du théorème de la médiane qui dit que la médiane associée à l’hypoténuse du triangle a pour longueur la moitié de celle-ci. Enoncé que nous démontrons aisément sur base d’une construction géométrique simple.

Nous passons ensuite au corollaire qui dit que des triangles rectangles qui partagent la même hypoténuse ont tous le sommet de leur angle droit sur un unique cercle pour lequel l’hypoténuse constitue un diamètre (c’est ce corollaire qui explique la méthode du tracé de cercle en l’absence de compas).

Nous enchaînons avec un deuxième corollaire qui dit que tout triangle rectangle est inscriptible dans un demi-cercle dont le diamètre a la même longueur que son hypoténuse.

Finalement, nous démontrons le théorème réciproque selon lequel, si la longueur de la médiane relative au plus grand côté d’un triangle vaut la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle.