Le volume du cône (sans l’intégrale)

Nous proposons le calcul du volume du cône à base circulaire à la façon dont Archimède a procédé pour en obtenir la formule au 3^ème siècle avant Jésus-Christ. Pour cela le cône est assimilé à une une pile de disques (ou cylindres) de petite épaisseur dont le rayon décroit linéairement avec la hauteur qu’ils occupent dans la pile. Une telle pile de disque tend vers un cône parfait lorsque l’épaisseur des disques tend vers zéro, c’est-à-dire quand le nombre de disques (ou cylindres) tend vers l’infini.

 

Connaissant la formule du volume du cylindre, le volume de la pile de disques peut être calculée comme la somme des volumes de tous les disques qui la composent. Cette somme est calculée par une méthode graphique originale qui fait appel seulement aux opérations élémentaires d’addition et de multiplication.

 

La seule difficulté qui apparaît sur le plan mathématique est l’introduction du symbole mathématique de sommation. Cette séquence est idéale pour familiariser l’élève à la notation compacte d’une somme de série de valeurs.

 

La méthode graphique du calcul de la somme des volumes des disques conduit très naturellement à la formule du volume du cône. Nous terminons par une brève remarque en généralisant cette formule à celle du volume d’un cône à base quelconque. Nous donnons l’exemple de la pyramide qui constitue un cône à base carrée.  

 

Il s’agit d’une leçon idéale pour familiariser les élèves avec la notion de décomposition infinitésimale.