Les nombres irrationnels - Introduction

En partant du contexte historique de l’école pythagoricienne, nous présentons la découverte des nombres irrationnels attribuée à Hippase de Métaponte. Nous expliquons que, armé du théorème de Pythagore, Hippase de Métaponte s’est intéressé à la longueur de la diagonale d’un carré. Si le carré est de côté 1, cette longueur est donnée par la racine carrée de 2.

Nous montrons que si la racine carrée de 2 pouvait être mise sous la forme d’un rapport de deux nombres entiers, soient N et D, alors ces deux nombres seraient d’office tous les deux des multiples de 2, ce qui est une absurdité car on peut toujours supposer que N et D ont été choisis au préalable pour constituer une fraction irréductible (s’ils étaient tous deux multiples de 2 on aurait fait la simplification de la fraction, ce qui signifie clairement que N et D ne peuvent être tous les deux multiples de 2). Cette contradiction mène directement au constat que la racine carrée de 2 ne peut être mise sous la forme d’un rapport de nombres entiers, en d’autres termes, elle constitue un nombre irrationnel.

Nous terminons la leçon par une brève réflexion sur la nature mystérieuse des nombres irrationnels, notamment sur leur place sur la droite des nombres réels, qui nous semblait, a priori, complètement couverte par les nombres rationnels dans la leçon sur les nombres rationnels.