Les nombres rationnels

En nous basant sur la notion de mesure de longueur, nous illustrons l’utilité pratique des nombres fractionnaires ou rationnels, c’est-à-dire les nombres qui résultent du quotient de deux nombres entiers. Nous donnons en exemple la façon dont les anglo-saxons  mesurent les longueurs avec, par exemple, les quarts, les huitièmes ou les seizièmes de pouce.

Nous montrons au travers d’exemples que les nombres rationnels possèdent soit une série finie de décimales, soit une série de décimales infinie et périodique. Nous expliquons ensuite pourquoi la série de décimales d’un nombre rationnel ne peut être que finie ou infinie périodique.

Nous montrons que le caractère infini ou non de la série de décimales d’un nombre rationnel ne dépend pas intrinsèquement des nombres entiers du quotient qui le détermine mais dépend plutôt de la base de numération choisie. Pour illustrer cela, nous calculons 1/3 en base 10 et en base 3. La suite infinie de 3 dans le premier cas (0,33333…) fait place au nombre 0,1 dans le deuxième cas.

En revenant à la notion de mesure de longueur, nous terminons la leçon, en insistant sur le fait que les nombres rationnels permettent, a priori, de représenter n’importe quelle longueur avec une précision potentiellement infinie. Ceci est fait en positionnant quelques nombres rationnels sur la droite des nombres réels.