Racines carrées et nombres irrationnels

Nous généralisons la démonstration de l’irrationnalité de la racine carrée de 2, en montrant que si la racine carrée d’un nombre entier k (qui n’est pas un carré parfait) pouvait être mise sous la forme d’un rapport de deux nombres entiers, soient N et D, alors ces deux nombres seraient d’office tous les deux des multiples de k. Ceci est une absurdité car on peut toujours supposer que N et D ont été choisis au préalable pour constituer une fraction irréductible (s’ils étaient tous deux multiples de k on aurait fait la simplification de la fraction, ce qui signifie clairement que N et D ne peuvent être tous les deux multiples de k). Cette contradiction conduit directement au constat que la racine carrée de k ne peut s’écrire comme un rapport de nombres entiers ; en d’autres termes, elle est un nombre irrationnel.