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Équations de Poisson et Laplace : illustration

Nous discutons de l’interprétation physique des équations de Laplace et de Poisson de façon à familiariser l’élève avec l’opérateur laplacien.
Nous montrons que l’équation de Laplace exprime une relation simple entre les dérivées secondes partielles par rapport aux trois coordonnées d’espace. A deux dimensions cette relation s’exprime en disant que les courbures des variations du potentiel dans deux directions orthogonales sont opposées.

Physique

Équations de Poisson et Laplace

Dérivation de l’équation de Poisson de l’électrostatique à partir de la loi de Gauss et de la notion de potentiel électrique. L’équation de Poisson est vue comme l’expression de la loi de Gauss en termes de potentiel électrique. Nous profitons de ce développement pour familiariser l’élève à la notion d’opérateur différentiel.

Physique

Champ et gradient du potentiel : illustration

À l’aide de quelques exemples, nous illustrons la formule donnant le champ électrique à partir du potentiel électrique.

Physique

Champ et gradient du potentiel

Nous expliquons la procédure qui permet d’établir que le champ électrique est égal à l’opposé du gradient du potentiel électrique.

Mathématiques

Le gradient : exercice

Exercice résolu sur la notion de gradient dans le cas d’une fonction de deux variables.

Mathématiques

Le gradient : généralisation à 3 dimensions

Nous généralisons le concept de gradient en passant à l’étude des variations des fonctions de trois variables.

Mathématiques

Le gradient : interprétation graphique

Nous proposons une astuce graphique permettant une interprétation plus aisée de la notion de gradient.

Mathématiques

Gradient et lignes de niveau

Nous démontrons que le champ vectoriel « gradient » d’une fonction de deux variables est en tout point perpendiculaire aux lignes de niveau de cette fonction.