Coniques - L'ellipse

La présentation s'ouvre sur un rappel synthétique des équations canoniques des trois coniques, situant l'ellipse dans le cas 0 < e < 1. Elle procède ensuite à une interprétation géométrique progressive de l'équation canonique : les sommets (±a, 0) et (0, ±b) sont identifiés sur la courbe, ce qui donne un sens concret aux demi-axes a (grand axe, horizontal) et b (petit axe, vertical).

La relation fondamentale a² = b² + c² est ensuite dérivée à l'aide du théorème de Pythagore, appliqué au triangle rectangle formé par le centre, un sommet du petit axe et un foyer. La présentation montre comment cette relation découle directement de la condition D(M, F) = e·D(M, d) évaluée en des points particuliers de la courbe, créant ainsi un lien rigoureux entre la définition géométrique et les paramètres algébriques. Les symétries de l'équation canonique par rapport aux deux axes sont également soulignées, ce qui conduit naturellement à introduire un second foyer F' et une seconde directrice d'.

La présentation culmine avec la définition bifocale de l'ellipse — lieu des points dont la somme des distances aux deux foyers F et F' vaut 2a — démontrée en exploitant la symétrie de la courbe et les relations déjà établies. Cette définition alternative, plus intuitive et souvent utilisée en pratique (tracé à la ficelle), est illustrée graphiquement pour plusieurs positions du point M sur la courbe. La diapositive de résumé rassemble l'équation canonique, les relations entre a, b et c, et les deux définitions équivalentes de l'ellipse.