La surface de la sphère

Nous commençons par mener une réflexion concernant le choix de la décomposition infinitésimale de la sphère. Cette discussion permet à l’élève de comprendre que la méthode de décomposition infinitésimale passe avant tout par le choix de la façon de décomposer la grandeur à calculer. Ce choix est crucial car, s’il est pertinent, il permet de limiter significativement les calculs. Dans notre cas, nous choisissons de décomposer la surface de la sphère en les anneaux (ou bandes annulaires) que séparent deux parallèles (les parallèles sont définis, en analogie au système de parallèles et méridiens qui permet de se repérer à la surface de la Terre). Nous discutons la façon de trouver la surface de ces bandes annulaires. Etape essentielle puisque ces bandes constituent les éléments de la décomposition infinitésimale.   

Nous montrons ensuite que ces éléments de la décomposition infinitésimale peuvent être décrits mathématiquement à l’aide de la coordonnées z le long de l’axe passant par les pôles de la sphère. La démarche est suffisamment simple pour être appliquée sans recourir au formalisme de Leibniz. Mais dans un deuxième temps nous résolvons le problème avec le formalisme de Leibniz. Cette manière de procéder en deux temps permet à l’élève de renforcer sa capacité d’interprétation du calcul intégral.