La surface du cône

Après avoir attiré l’attention de l’élève sur le fait que le cône est une surface réglée, nous proposons de décomposer sa surface latérale en des triangles identiques formés par des couples de droites génératrices très proches l’une de l’autre. Ces triangles ont donc une base donnée par la circonférence du cercle de base du cône divisée par le nombre N de triangles considérés dans la décomposition. Si N est très grand ces triangles plans forment ensemble une surface très proche de celle du cône, on peut donc facilement admettre que la somme des surfaces des N triangles est très proche de la surface du cône. Il faudrait pour être exact que le nombre N tende vers l’infini, ce que nous suggérons de faire. Cette procédure revient à réaliser un calcul intégral par décomposition infinitésimale de la surface du cône, ce que nous n’explicitons pas à l’élève. Nous nous contentons de dire qu’il s’agit d’une approche développée par Archimède il y a 2300 ans. Avec cette approche le calcul de la surface du cône se réduit à l’utilisation du théorème de Pythagore et de la formule de la surface du triangle.

Une vision alternative du problème est proposée en déroulant la surface latérale du cône pour en faire une surface plane (auquel cas, il n’est plus nécessaire de décomposer la surface en triangles). Cette opération de déroulage conduit à une portion de cercle dont la surface peut facilement être calculée pour fournir le même résultat qu’avec l’approche de décomposition en N triangles.  

Il s’agit d’une leçon idéale pour familiariser les élèves avec la notion de décomposition infinitésimale.