Le cardinal des nombres rationnels

Après un bref rappel de la notion de cardinal d’un ensemble, nous adoptons la procédure de Cantor pour montrer que les nombres rationnels constituent un ensemble d’éléments « dénombrables » au même titre que les nombres entiers naturels. Nous montrons ensuite, sur base de la démonstration par l’absurde dite « de la diagonale de Cantor », que cette procédure ne peut être appliquée aux nombres réels, montrant ainsi que les nombres réels constituent un ensemble d’éléments « non dénombrables ». Nos explications sont relativement succinctes car ce sujet fait l’objet d’une leçon séparée (intitulée « Infinis dénombrable et indénombrable »).

Nous terminons la leçon en tentant de donner à l’élève une image mentale de la répartition des nombres rationnels et irrationnels sur la droite des réels : les nombres rationnels ont une répartition « granulaire » comparable aux graduations d’une règle tandis que les irrationnels occupent l’espace existant entre les graduations pour donner aux nombres réels une répartition « continue ».