Coniques - L’ellipse : équation paramétrique

La présentation commence par rappeler les acquis du chapitre précédent — équation canonique, relation a² = b² + c², définition bifocale — avant d'introduire les équations paramétriques de l'ellipse : X = a cos θ et Y = b sin θ. Le paramètre θ est interprété géométriquement. Plusieurs valeurs particulières de θ (0, π/2, π) sont examinées pour vérifier que les sommets de l'ellipse sont bien retrouvés, ancrant la formule dans une intuition visuelle claire.

Le cœur de la présentation consiste en la démonstration de la propriété de réflexion de l'ellipse. À l'aide des équations paramétriques, les vecteurs FM et F'M sont exprimés explicitement, puis la tangente en M est calculée par dérivation. La démonstration repose sur le calcul des produits scalaires de ces vecteurs avec la tangente, en exploitant la relation a² − b² = c². On montre que les angles formés par FM et F'M avec la tangente en M sont égaux, ce qui établit rigoureusement la propriété focale de réflexion par un développement algébrique complet, étape par étape.

La présentation se conclut sur une application physique et architecturale saisissante : les Whispering Galleries (galeries des murmures), des salles de forme elliptique où un son émis depuis un foyer est concentré et audible à l'autre foyer, même à grande distance. Ce cas concret, analogue à la propriété focale du miroir parabolique vue précédemment, illustre l'unité des coniques comme courbes dotées de propriétés optiques et acoustiques remarquables.