Introduction au calcul infinitésimal

Nous présentons le concept de base du calcul infinitésimal en considérant la méthode proposée par Antiphon au 5ème siècle av. J.C. pour calculer la circonférence du cercle. Cette méthode consiste à assimiler le cercle à un polygone régulier (inscrit au cercle) à grand nombre de côtés. L’idée de base étant que le périmètre P de ce polygone tend vers la circonférence C du cercle lorsque le nombre N de ces côtés tend vers l’infini. Nous discutons cette idée en rapport avec la difficulté conceptuelle liée à un nombre infini de côtés (c’est en principe avec un nombre infini de côtés que le périmètre P = NL est égal à la circonférence du cercle). En effet, si le nombre N de côtés est infini, la longueur L de ces côtés devient nulle, ce qui signifie que le périmètre P = NL apparaît comme le produit de l’infini par zéro auquel il n’est pas possible de donner un sens. Cette difficulté montre que la proposition d’Antiphon (mise en œuvre par Archimède au 3^ème siècle av. J.C.) ne peut être appréhendée qu’avec un nombre N fini (correspondant à une longueur L finie), ce qui implique nécessairement d’introduire l’idée d’un N nombre tendant vers l’infini (plutôt qu’égal à l’infini) correspondant à une longueur L tendant vers zéro. Ainsi, le périmètre P du polygone ne peut être dit égal à la circonférence C du cercle que lorsque N tend vers l’infini et L tend vers zéro. Autrement dit, dans cette situation le côté L du polygone est une grandeur « infinitésimale » et le périmètre P du polygone est le résultat du produit de cette grandeur « infinitésimale » avec un nombre N fini tendant vers l’infini. Les bases du calcul infinitésimal étaient jetées, et cela il y a 2500 ans !