Le cosinus

Nous abordons la notion mathématique de cosinus en proposant la résolution d’un problème de géométrie simple. Il s’agit de déterminer à quelle distance d’un mur une échelle de longueur L donnée doit être placée pour que son inclinaison soit inférieure à un angle θ donné par rapport à l’horizontale.

Pour commencer à résoudre ce problème, nous faisons remarquer à l’élève que l’échelle, l’horizontale au sol et le mur forment un triangle rectangle. En nous référant alors à la notion de sinus vue dans la leçon précédente, nous constatons que la distance recherchée est donnée par le sinus de l’angle que fait l’échelle par rapport au mur, c’est-à-dire l’angle complémentaire à celui donné dans l’énoncé du problème, soit (90° − θ).

Nous introduisons alors les notions de côtés « opposé » et « adjacent » à l’angle donné θ et montrons que le sinus de l’angle θ est égal au rapport entre le côté opposé à cet angle et l’hypoténuse du triangle, alors que le sinus de l’angle complémentaire (90° − θ) est égal au rapport entre le côté adjacent à l’angle θ et l’hypoténuse du triangle.

Nous expliquons ensuite que, par commodité, on définit le cosinus d’un angle θ comme le sinus de l’angle complémentaire (90° − θ), soit cos(θ) = sin(90° − θ). Ceci nous permet effectivement d’établir que le sinus d’un angle dans un triangle rectangle est égal au rapport entre le côté opposé à cet angle et l’hypoténuse, alors que le cosinus de cet angle est égal au rapport entre le côté adjacent à cet angle et l’hypoténuse.

Pour terminer, nous illustrons la notion de cosinus en résolvant un problème de géométrie simple consistant à mesurer la hauteur d’une construction à partir de la longueur de son ombre.