Le nombre "e"

Cette séquence fait suite à la séquence consacrée à l'introduction de la fonction exponentielle dans laquelle le nombre "e" n'a été qu'évalué de façon approximative par une approche de type essais et erreurs. Ici nous exposons une version simplifiée de la méthode adoptée par Euler pour calculer "e" avec une précision arbitraire. Cette méthode consiste à effectuer la décomposition de la fonction exponentielle en série entière. Nous procédons à cette décomposition de façon progressive et intuitive en nous fixant comme objectif de construire une fonction polynomiale qui se rapproche le plus possible de la fonction exponentielle. En faisant tendre le nombre de termes du polynôme vers l'infini nous montrons que la fonction construite est identique à la fonction exponentielle. Nous avons pour cela montré au préalable que la fonction exponentielle est la seule fonction qui a pour propriété d'être égale à sa dérivée [f'(x) = f(x)] et d'avoir une valeur unitaire en l'origine [f(0)=1]. Le nombre "e" est alors obtenu en calculant la fonction résultante en x = 1. La notion mathématique de factorielle est introduite pour obtenir une expression compacte de la série que constitue cette fonction.