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La fonction exponentielle imaginaire

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La fonction exponentielle imaginaire

Publiée le 26 mai 2018

Après une brève réflexion sur la nature abstraite des notations mathématiques impliquant des exposants (exposants fractionnaires et exposants négatifs) nous introduisons la notion d'exposant imaginaire. Nous montrons que tout nombre élevé à une puissance imaginaire peut être calculé grâce à la fonction exponentielle imaginaire. L'objectif de la séquence se limite donc à expliquer ce que représente la fonction "f(x) = eix" où x est un argument réel. Pour cela nous exploitons les propriétés de base de la fonction exponentielle, à savoir : la fonction exponentielle est l'unique fonction qui est égale à sa dérivée et qui vaut l'unité en l'origine x = 0. Cette deuxième propriété est exploitée dans l'étude du module carré de "eix". En généralisant aux nombres complexes la règle d'addition des exposants dans le produit de deux puissances de e, nous arrivons très simplement à la conclusion que le module carré de "eix" est égal à l'unité pour tout x. Ce résultat indique que "eix" est un nombre complexe situé sur un cercle de rayon unité centré sur l'origine du plan complexe. Il nous reste alors à exploiter la propriété de la dérivée de la fonction exponentielle pour arriver à la conclusion que l'argument du nombre complexe "eix" est égal à x. Ce qui nous conduit directement à la formule d'Euler "eix = cos(x) + i sin(x)". L'interprétation et les illustrations de ce résultat sont laissés à la séquence suivante.

Thématiques dans lesquelles apparaît cette vidéo

Exponentielle

Introduction de la fonction exponentielle et du nombre d'Euler "e"

  1. La fonction exponentielle
  2. Le nombre "e"
  3. La fonction exponentielle imaginaire
  4. L’exponentielle imaginaire : illustrations

1 commentaire

  • Mélody Vlieghe

    Bonjour, 

    je prépare le CAPES de maths (concours pour être prof de maths dans l'enseignement secondaire, en France). J'ai découvert vos vidéos qui sont très formatrices. 

    J'ai une question concernant cette vidéo d'introduction à l'exponentielle imaginaire. Vous montrez que le module de exp(i theta) vaut 1 en passant par le conjugué exp(-i theta). Mais comment savons-nous a priori que exp(-i theta) est égal à x(theta)-iy(theta) ? Je soupçonne l'artifice didactique mais il y a peut-être une justification qui m'échappe. 

    Bien cordialement

    10.05.2019 à 17:38

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