Racines des nombres complexes

A partir de la formule donnant la puissance « n » d’un nombre complexe « z », nous établissons la formule donnant la racine d’ordre « n » d’un nombre complexe. En traitant le problème de façon volontairement simpliste pour commencer, nous arrivons à la conclusion que l’argument de la racine « n »-ème d’un nombre complexe « z » a pour valeur un « n »-ème de l’argument de « z ». Mais au travers de divers exemples simples nous montrons que, bien que correct, ce résultat n’est pas complet. Les exemples traités montrent effectivement que pour obtenir toutes les valeurs possibles de la racine « n »-ème d’un nombre complexe, il faut adresser le problème l’ambiguïté de la définition de l’argument d’un nombre complexe. En effet, l’argument d’un nombre complexe a une valeur déterminée à un multiple de 360° près et c’est bien en tenant compte de cette indétermination que l’on arrive à considérer toutes les racines d’un nombre complexe. Nous montrons de cette façon que les racines « n »-ème d’un nombre complexe sont au nombre de « n » et que, dans le plan complexe, elles se situent toutes, à intervalle régulier, sur le même cercle centré sur l’origine.