L’exponentielle imaginaire : illustrations

L’objectif de cette séquence est de familiariser l’élève avec la fonction exponentielle imaginaire. Nous commençons par interpréter cette fonction dans le but d’en construire une image mentale solide et opérante. Nous exploitons pour cela la formule d’Euler exp(ix) = cos(x) + i sin(x) qui révèle que la fonction exponentielle imaginaire constitue en quelque sorte une représentation du cercle trigonométrique : lorsque l’argument x augmente depuis zéro jusqu’à 2p, le nombre complexe exp(ix) effectue le tour complet du  cercle trigonométrique centré sur l’origine du plan complexe.  

Nous en profitons pour présenter l’identité d’Euler exp(ip)+1=0 que nous commentons en détail. Nous exploitons l’exponentielle imaginaire pour donner la signification de l’exponentiation d’un nombre réel par un nombre imaginaire pur [ exemple : 2ⁱ = e^iln2 ] ainsi que pour calculer le logarithme d’un nombre imaginaire pur et d’un nombre réel négatif. Nous passons ensuite à des illustrations de la nature utilitaire de la fonction exponentielle imaginaire en démontrant de façon très simple des propriétés mathématiques a priori peu évidentes telles que la formule de Moivre, la formule de l’arc double du sinus ou les formules de Simpson de la trigonométrie.