La fonction exponentielle
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La fonction exponentielle
Sur base de l'observation de l'évolution d'une population de bactéries soumises au processus de fission binaire (division cellulaire), nous introduisons la fonction exponentielle de base 2. Nous passons ensuite à la fonction exponentielle de base 10. Ces deux fonctions sont étudiées au travers de leurs dérivées et nous montrons que leurs pentes à l'origine sont différentes. La base 2 correspond à une pente à l'origine de 0,693 alors que l'exponentielle de base 10 a une pente à l'origine de 2,303. Ce résultat suggère qu'il existe une base d'exponentielle comprise entre 2 et 10 dont la pente à l'origine vaut l'unité. Cette base particulière constitue le nombre d'Euler "e". Une évaluation du nombre "e" à l'aide d'une approche de type essais et erreurs est proposée. Cette approche est basée sur le calcul de la dérivée de la fonction exponentielle de base quelconque à partir de la définition de la dérivée f'(x)=[f(x+dx)-f(x)]/dx. Nous montrons que la pente à l'origine unitaire implique que la fonction exponentielle de base "e" est égale à sa dérivée en tout point. Nous analysons brièvement le lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme et montrons, en particulier, qu'elles sont réciproques l'une de l'autre. Nous terminons en montrant que l'exponentielle de base quelconque ainsi que sa dérivée peuvent se calculer à partir de l'exponentielle de base "e".
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Exponentielle
Introduction de la fonction exponentielle et du nombre d'Euler "e"
3 commentaires
Eckho Eyes
Bonjour, Je ne comprends pas pourquoi 1/l'infini=0... Ça signifierait que 0*l'infini=1... ?
Merci en tout cas pour vos vidéos : un peu longues, mais au final vraiment bien expliquées et approfondies, c'est génial. (:
21.02.2018 à 22:19
ALAIN BINET
Bonjour,est-il possible d'accéder à une ou des vidéos sur l'équation différentielle depuis l'introduction et ses applications pour comprendre son utilité au travers d'exemples d'interprétations géométriques ou autres comme vous savez si bien le faire.Merci.
07.02.2019 à 15:03
Euler Eren
Eckho Eyes,
Pour répondre à ton commentaire, quand le prof dit "1/infini = 0" c'est bien-sûr au sens de limite et non de calcul purement algébrique, donc appliquer un produit en croix ici n'a pas de sens.
Ce qu'il a voulu dire de manière rapide c'est que
lim pour x--> ∞ de 1 / x = 0
Ce qui est parfaitement logique : si tu divise 1 (ou tout autre réel) par un nombre de plus en plus grand, le résultat sortant sera de plus en plus petit. Et il s'approchera infiniment de 0 si x augmente infininement.
Tu peux le voir sur ta calculette en divisant 1 successivement par 10, 100, 10000, 1000000...etc
Ton résultat s'approchera donc peu à peu de 0.
Voila ce que signifie "1 sur infini = 0"
11.11.2020 à 19:42
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