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Intégration par changement de variable : l'aire du cercle

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Intégration par changement de variable : l'aire du cercle

Publiée le 16 décembre 2017

Pour illustrer la technique de calcul d'intégrales par changement de variable, nous proposons d'établir la formule qui donne l'aire du cercle (disque) en fonction de son rayon. Dans un premier temps nous appliquons une décomposition infinitésimale de l'aire du cercle dans un système de coordonnées cartésiennes (plan x-y), ce qui conduit à un intégrande dont il est difficile de calculer la primitive de façon usuelle, c'est-à-dire sur base de l'intuition. Ce problème illustre donc la nécessité de recourir à des méthodes alternatives pour le calcul d'intégrales. Le choix d'une variable angulaire (système de coordonnées polaires) conduit à une expression trigonométrique de l'intégrande dont la primitive est facilement identifiée à partir de la formule du cosinus de l'arc double, ce qui rend aisé le calcul de l'aire du cercle (disque).

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