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La méthode de décomposition infinitésimale

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La méthode de décomposition infinitésimale

Archimède a établi la formule de l’aire du cercle en assimilant le cercle à un polygone régulier à grand nombre N de côtés. Comme un polygone régulier à N côtés peut être décomposé en N triangles isocèles identiques, son aire SP peut être calculée à partir du calcul de l’aire sT de ces triangles, soit SP = NsT. L’idée adoptée par Archimède était que l’aire SP tend vers celle du cercle S lorsque N tend vers l’infini. Nous analysons cette idée en rapport avec l’erreur commise en disant que l’aire S du cercle est proche de l’aire SP du polygone lorsque N est grand. Nous démontrons que cette erreur tend bien vers zéro lorsque N tend vers l’infini, ce qui valide la méthode de décomposition infinitésimale proposée par Archimède.

Pour familiariser l’élève au principe de base du calcul infinitésimal, nous terminons la séquence en calculant l’aire d’un triangle à partir de sa décomposition infinitésimale en N rectangles. Nous nous intéressons à l’erreur commise en disant que l’aire du triangle se rapproche de celle de l’ensemble des N rectangles qui le composent et montrons que cette erreur tend bien vers zéro lorsque le nombre N de rectangles de la décomposition tend vers l’infini. Ce développement permet de préparer l’élève au calcul intégral qui sera illustré dans les séquences à venir avec des problèmes tels que le calcul de la surface ou du volume de la sphère.

 

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