La méthode de décomposition infinitésimale

Archimède a établi la formule de l’aire du cercle en assimilant le cercle à un polygone régulier à grand nombre N de côtés. Comme un polygone régulier à N côtés peut être décomposé en N triangles isocèles identiques, son aire S_P peut être calculée à partir du calcul de l’aire s_T de ces triangles, soit S_P = Ns_T. L’idée adoptée par Archimède était que l’aire S_P tend vers celle du cercle S lorsque N tend vers l’infini. Nous analysons cette idée en rapport avec l’erreur commise en disant que l’aire S du cercle est proche de l’aire S_P du polygone lorsque N est grand. Nous démontrons que cette erreur tend bien vers zéro lorsque N tend vers l’infini, ce qui valide la méthode de décomposition infinitésimale proposée par Archimède.

Pour familiariser l’élève au principe de base du calcul infinitésimal, nous terminons la séquence en calculant l’aire d’un triangle à partir de sa décomposition infinitésimale en N rectangles. Nous nous intéressons à l’erreur commise en disant que l’aire du triangle se rapproche de celle de l’ensemble des N rectangles qui le composent et montrons que cette erreur tend bien vers zéro lorsque le nombre N de rectangles de la décomposition tend vers l’infini. Ce développement permet de préparer l’élève au calcul intégral qui sera illustré dans les séquences à venir avec des problèmes tels que le calcul de la surface ou du volume de la sphère.