Calcul intégral : une petite mise au point

Le but de cette séquence est de faire le point sur l'interprétation géométrique de l'intégrale selon laquelle la valeur d'une intégrale représente l'aire sous la courbe du graphe de la fonction intégrande (aire limitée latéralement par les bornes de l'intégrale). Jusqu'à présent, cette interprétation était justifiée par le fait que l'opération d'intégration consiste à faire l'addition des aires infinitésimales f(x)dx vues comme des aires de rectangles de hauteur f(x) et de largeur dx. Mais en réalité, sur l'intervalle dx, la fonction passe de f(x) à f(x+dx), ce qui signifie que l'aire sous la courbe du graphe de f(x) n'est pas un rectangle mais bien un trapèze. Un calcul simple est alors mené pour chiffrer la correction à apporter pour rendre compte de l'aire du trapèze plutôt que celle du rectangle f(x)dx. Les résultats de ce calcul montrent que la prise en compte de cette correction, ne change rien à la valeur de l'intégrale. Pour motiver et donner du sens à cette problématique, nous l'abordons de façon concrète à partir du calcul de l'aire du cercle (disque) par décomposition infinitésimale. Cette mise au point concernant l'interprétation de l'intégrale nous semble utile dans la mesure où elle répond à un questionnement récurrent et légitime de la part des élèves confrontés à la découverte du calcul différentiel et intégral.