Déterminants et transformations

A l’aide de quelques exemples simples nous montrons qu’une transformation du plan modifie la surface (aire) qu’occupent un ensemble donné de points (vus comme les pixels d’une image). Nous étudions le cas particulier de la transformation d’un carré de côté unitaire par une transformation quelconque de matrice A. Après avoir montré que les lignes droites sont conservées dans les transformations matricielles (cf. applications linéaires), nous arrivons à la conclusion que le carré unitaire construit sur les vecteurs de base se transforme en un parallélogramme dont les côtés sont les transformées des vecteurs de base. Une étude géométrique simple de ce parallélogramme (basée sur l’analyse de triangles semblables) nous montre que sa surface est égale au déterminant de la matrice A de la transformation. Ceci nous permet de montrer qu’une matrice de déterminant nul (correspondant à une surface transformée nulle) correspond à une transformation qui réduit l’image à une ligne (ou un point). Nous faisons le lien entre ce résultat et l’analyse faite dans la séquence précédente (Matrices et transformations) dans laquelle nous montrions que les matrices non inversibles correspondent à des transformations non réversibles en raison de la perte irréversible de l’information qu’elles engendrent. Nous discutons la signification du signe du déterminant. Nous montrons qu’une matrice de déterminant négatif est associée à une transformation qui « renverse » l’image. Une généralisation à 3 dimensions de notre analyse (transformation de l’espace 3D) est brièvement présentée en référence au concept de produit mixte (voir séquence consacrée au produit mixte dans la section géométrie).