Les Matrices : introduction

Dans le contexte du développement d’un jeu vidéo nous proposons le calcul des coordonnées (x,y) du point d’intersection de deux droites d’équations : ax+by=p et cx+dy=q. Ceci est l’occasion de rappeler la notion de système d’équations linéaires. Nous commençons par introduire la notation matricielle de ce système avec pour but d’en obtenir une notation compacte. Nous introduisons dès lors la notion de matrice avec la matrice du système d’équation (matrice A, 2 lignes et 2 colonnes), et les matrices colonne des inconnues (x,y) et des termes indépendants (p,q), soit les matrices X et P.  Nous résolvons alors le système d’équations linéaires par la technique d’élimination des variables (méthode de Gauss, sans le dire explicitement). Ensuite nous montrons que la solution peut se mettre sous la forme du produit matriciel X=A^-1P, ou la matrice A^-1 est interprétée comme étant la matrice inverse de la matrice A du système (nous montrons que si le déterminant de A est nul, alors cette matrice n’existe pas). Nous avons ainsi montré que la solution X du problème peut s’obtenir par une seule opération (la division à gauche et à droite par la matrice A, ou la multiplication par son inverse). Ceci nous conduit au message principal de cette séquence introductive qui consiste à dire que les matrices permettent de faire des calculs « collectifs » : l’opération unique de division par la matrice A permet de calculer en une étape les 2 inconnues (x,y) du problème, à l’image de ce que l’on fait avec une seule équation linéaire d’une seule inconnue. Un petit aperçu historique est donné avec le rôle de Sylvester et ensuite de son collègue Cayley, le pionnier de l’algèbre matricielle.