Inversion matricielle

Nous commençons par rappeler que le produit de deux matrices s’obtient à partir des produits scalaires des vecteurs lignes de la première matrice par les vecteurs colonnes de la deuxième matrice. Sur cette base il est facile de montrer que le premier vecteur ligne de la matrice inverse A^-1 doit être orthogonal aux deux derniers vecteurs colonnes de la matrice A (en effet, pour le cas d’une matrice 3x3 le produit de la première ligne de A^-1 par les trois colonnes de A, doit donner la séquence 1, 0, 0). Il apparaît donc naturel de choisir pour ce premier vecteur ligne le vecteur résultant du produit vectoriel des deux derniers vecteurs colonne. Le produit scalaire de cette ligne avec la première colonne donne alors le produit mixte des vecteurs colonne de A qui n’est autre que le déterminant de la matrice [det(A)]. Pour corriger cela afin d’obtenir 1 et non det(A) (premier élément de la matrice identité), on divisera par det(A) la matrice ainsi obtenue. En procédant de la même manière pour les deux autres vecteurs lignes de A^-1 on conclut que la matrice inverse a pour vecteurs lignes les produits vectoriels des colonnes de A prises deux à deux (normalisés par le déterminant). Il est très facile de montrer que les composantes des vecteurs résultant de ces produits vectoriels sont les cofacteurs des éléments de la matrice A. Ce constat conduit naturellement à la conclusion que la matrice inverse d’une matrice A donnée est donnée par la transposée de la matrice des cofacteurs de A divisée par le déterminant. On montre que ce résultat est facilement transposable aux matrices carrées de toutes dimensions (nxn).