Le calcul matriciel : 3. propriétés de la multiplication

Sur base de la formule du produit de deux matrices, nous traitons les cas du produit des matrices A et B d’ordre (1xn) et (nx1), respectivement. Le produit AB donne une matrice à un élément (1x1), ce qui nous permet de discuter de la différence de nature entre une matrice d’un élément et un simple nombre (scalaire). Nous analysons ensuite le produit des mêmes matrices considéré dans l’autre sens, soit BA. Ce produit donne une matrice d’ordre (nxn), ce qui nous permet de montrer de façon très naturelle que le produit matriciel n’est pas commutatif.  Nous proposons de vérifier la non-commutativité sur un exemple de produit de deux matrices dont les éléments sont donnés (il est proposé à l’élève d’effectuer le calcul seul en interrompant l’image). Cela permet de montrer que la non-commutativité de la multiplication matricielle touche aussi les matrices carrées. Pour terminer nous exploitons la formule du produit de deux matrices pour démontrer la distributivité (par rapport à la loi d’addition) ainsi que l’associativité. Ces deux démonstrations doivent être vues comme une occasion de se familiariser avec le formalisme matriciel et en particulier avec la formule du produit matriciel.