Formule du déterminant

Pour le cas d’une matrice 3x3 nous analysons l’expression du déterminant développé à partir des éléments de sa première colonne (comme on l’a considéré jusqu’à présent). Le résultat de ce développement est une somme de produits de 3 nombres. Cette démarche nous permet de montrer que le déterminant contient, sous forme de produits de trois nombres, toutes les combinaisons possibles de 3 éléments distincts appartenant à des lignes et à des colonnes différentes. Nous montrons que cette propriété est valable quelque soit l’ordre n du déterminant. Cette manière d’envisager le déterminant conduit naturellement à la conclusion qu’il peut être développé à partir de n’importe quelle ligne ou n’importe quelle colonne. Nous aboutissons ainsi à la formule disant que le déterminant vaut la somme des produits des éléments a_ij  de la ligne i (ou de la colonne j) par leur « mineur » M_ij muni du signe (-1)^i+j (où i et j sont les numéros de ligne et de colonne de l’élément). Nous introduisons pour terminer le concept de cofacteur C_ij = M_ij (-1)^i+j.