Déterminant : généralisation

Après un bref rappel de l’interprétation géométrique du déterminant des matrices 2x2 et 3x3, nous passons au déterminant de la matrice 4x4. Nous nous basons sur une généralisation du produit vectoriel à 4 dimensions. Puisque le produit vectoriel à 4D implique 3 vecteurs, là où le produit vectoriel à 3D s’interprète en termes de surface, le produit vectoriel à 4D s’interprète en termes de volume. Autrement dit, la surface du parallélogramme construit sur les 2 vecteurs du produit à 3D devient le volume du parallélépipède construit sur les 3 vecteurs du produit à 4D. Le déterminant à 4D est alors obtenu par la généralisation du produit mixte des 4 vecteurs colonnes de la matrice 4x4. Le résultat est un « hypervolume » à 4 dimensions. La procédure de calcul est identique à celle du déterminant 3x3, ce qui permet de passer, par simple extension, à la matrice de dimension quelconque NxN dont le déterminant représente l’hypervolume du parallélépipède à N dimensions (« parallélotope ») construits sur ses vecteurs colonne.