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Matrices et transformations

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Matrices et transformations

Publiée le 24 novembre 2018

Nous commençons par montrer que les transformations du plan (en tant qu’application linéaire) peuvent être représentées par des matrices. Les transformations du plan sont visualisées à l’aide des transformations d’images auxquelles elles correspondent. Nous traitons d’abord le cas simple de la symétrie axiale (retournement d’axe vertical) pour montrer que l’inverse A-1 d’une matrice A représente la transformation inverse de celle de A (l’application de A-1 à l’image retournée donne l’image de départ). La richesse de l’algèbre matricielle (par rapport à l’algèbre des nombres) est illustrée au travers de la propriété de la symétrie axiale qui dit que A-1 = A, ce qui signifie également que A-1A = A2 = I. Ceci est l’occasion de discuter de la notion de racine carrée d’une matrice. Nous montrons, en particulier, que la matrice identité possède une infinité de racines carrées. Nous passons ensuite à l’interprétation du produit matriciel en montrant que l’application de deux transformations successives A et B est représentée par la matrice produit BA. Ce point est l’occasion d’interpréter la propriété de non-commutativité de la multiplication. Le cas de l’homothétie (élargissement/rétrécissement d’une image) est ensuite considéré pour montrer qu’une matrice non inversible (c-à-d, de déterminant nul) correspond à une transformation non réversible en raison de la perte d’information qu’elle engendre sur l’image (l’homothétie de facteur nul réduit l’image à une ligne ou un point). Pour terminer nous traitons le cas de la rotation dont la matrice est obtenue en calculant la transformation des vecteurs de base (1,0) et (0,1). Ceci est l’occasion de montrer que les colonnes d’une matrice carrée constituent les transformées des vecteurs de base. Ce constat montre que pour obtenir la matrice d’une transformation, il suffit de connaître la façon dont se transforment les vecteurs de base. Ce principe est généralisé brièvement à 3 dimensions.

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