Le calcul matriciel : 2. La multiplication

Dans le but de donner du sens à la loi de multiplication matricielle nous l’introduisons dans une perspective historique. Nous commençons par rappeler que les matrices ont été introduites en tant qu’outil de résolution des systèmes d’équations linéaires et nous insistons sur le fait que l’écriture matricielle d’un système d’équations linéaires, soit AX=P (où A est la matrice carré du système, X la matrice colonne des inconnues et P la matrice des termes indépendants) définit implicitement la règle du produit matriciel d’une matrice (A) avec une matrice colonne (X). Le système d’équations est effectivement retrouvé si on applique par convention la règle qui dit que le résultat du produit AX est une matrice colonne dont les éléments sont donnés par le produit scalaire des lignes de A avec la colonne de X. La généralisation de cette règle de base au produit matriciel de matrices d’ordre (dimensions) quelconque(s) se fait naturellement en considérant le produit ABX où B est une matrice carrée du même ordre que A. En effet, le produit BX donne une matrice colonne obtenue selon la règle de base et il en est donc de même pour le produit A(BX).  Le résultat obtenu de cette manière montre que le produit AB est une matrice carrée de même ordre que A et B et dont les éléments sont donnés par le produit scalaire des lignes de A par les colonnes de B. En introduisant la notation indicielle compacte des matrices, la formule de la multiplication matricielle est alors établie, soit : si C = AB alors c_ij = ∑_k a_ikb_kj. Une brève discussion sur les dimensions des matrices conduit ensuite naturellement à la conclusion que deux matrices rectangulaires ne peuvent être multipliées entre elles que si le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.